Chứng minh các đẳng thức sau. Bài 64 trang 33 sgk Toán 9 – tập 1 – Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (left( {{{1 – asqrt a } over {1 – sqrt a }} + sqrt a } right){left( {{{1 – sqrt a } over {1 – a}}} right)^2} = 1) với a ≥ 0 và a ≠ 1
b) ( {{a + b} over {{b^2}}}sqrt {{{{a^2}{b^4}} over {{a^2} + 2{rm{a}}b + {b^2}}}} = left| a right|) với a + b > 0 và b ≠ 0
Hướng dẫn giải:
a) Biến đổi vế trái để được vế phải.
Ta có:
(VT=left ( frac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right )left ( frac{1-sqrt{a}}{1-a} right )^{2})
(= frac{(1-asqrt{a}+sqrt{a}-a)(1-sqrt{a})}{(1-a)^{2}})
(=frac{left [ (1-a) +(sqrt{a}-asqrt{a})right ](1-sqrt{a})}{(1-a)^{2}})
(= frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP)
b) Ta có:
(VT=frac{a+b}{b^{2}}sqrt{frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}})
(=frac{a+b}{b^{2}}.frac{|a|b^2}{|a+b|})
Mà (a+b>0Rightarrow |a+b|=a+b) nên:
(frac{a+b}{b^{2}}.frac{|a|b^2}{|a+b|}=frac{a+b}{b^{2}}.frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP)
