Các dạng bài tập viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số | Bostonenglish.edu.vn

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng toán mà chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm (tiếp điểm); Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k,…

I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 

– Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tai điểm M(x;y).

– Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x;ylà: y=y(x)(xx)+y

– Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến (PTTT) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x.

II. Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)

* Phương pháp:

– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị (C): y=f(x) tại điểm M(x;y)

+ Bước 1: Tính đạo hàm y’=f'(x) ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến k=y'(x)

+ Bước 2: PTTT của đồ thị tại điểm M(x;y) có dạng: y=y'(x)(x-x)+y

* Lưu ý, một số bài toán đưa về dạng này như:

– Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x) thì tìm y bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y=f(x)

– Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y) thì tìm x bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x)=y

– Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).

– Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+2x2 tại điểm M(-1;1)

° Lời giải:

– Ta có: y’=3x2 + 4x nên suy ra y'(x) = y'(-1) = 3.(-1)2 + 4.(-1) = -1

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:

 y = y'(x)(x – x) + y(x) ⇔ y = (-1).(x – (-1)) + 1 = -x

– Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.

* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị (C):  và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

° Lời giải:

– Ta có: x = -1 ⇒ y = y(-1) = 1/2.

 

– Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:

  

* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x4 – 2x2.

* Lời giải:

– Ta có y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

See also  VBA ARRAY TRONG EXCEL - HƯỚNG DẪN ĐẦY ĐỦ | Bostonenglish.edu.vn

– Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:

 

– Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.

– Với x = 0 ⇒ y = 0 và k = y'(x) = 0 

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

– Với  và  

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

– Với  và

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = -4√2 là:

– Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

 y = 0; y = 4√2x – 8 và y = -4√2x – 8

hayhochoi dn9

° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM

* Phương pháp:

– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị

+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA;yA) có hệ số góc k có dạng:

 d: y=k(x-xA)+yA (*)

+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm

+ Bước 1: Gọi M(x;f(x)) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f'(x) theo x.

+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f'(x)(x-x)+f(x) (**)

 Vì điểm A(xA;yA) ∈ (d) nên yA=f'(x)(xA-x)+f(x) giải phương trình này tìm được x.

+ Bước 3: Thay x tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.

* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).

° Lời giải:

– Ta có: y’ = -12x2 + 3

– Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2

– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

  

 

 ⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.

• Với x = -1 ⇒ k = -12.(-1)2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7

• Với x = 1/2 ⇒ k = -12.(1/2)2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2

• Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x – 7 và y = 2.

* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C):  đi qua điểm A(-1;4).

° Lời giải:

– Điều kiện: x≠1; Ta có: 

– Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4

See also  STT Nước Mắt & 40 Câu Nói Hay Về Những Giọt Nước Mắt Tình Yêu | Bostonenglish.edu.vn

– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

  

 

– Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)

– Với x = -4 ⇒  phương trình tiếp tuyến là: 

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k

* Phương pháp:

– Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

+ Bước 1: Gọi M(x;y) là tiếp điểm và tính y’=f'(x)

+ Bước 2: Khi đó,

  – Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f'(x)

  – Giải phương trình k=f'(x) này ta tìm được x, từ đó tìm được y.

+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:

 (d): y=y’(x-x)+y

* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.

• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.

* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:

 

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

° Lời giải:

– Ta có: y’ = 3x2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x;y)

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y'(x

 ⇔ 

– Với x = 2 ⇒ y = (2)3 – 3.(2) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1(2;4)

 Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:

– Với x = -2 ⇒ y = (-2)3 – 3.(-2) + 2 = 0 ta có tiếp điểm M2(-2;0)

 Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:

– Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:

 (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):  song sóng với đường thẳng Δ: 3x – y + 2 = 0.

° Lời giải:

– Ta có: ; và 

– Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x;y), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:

– Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:

  

• Với x = -1 thì  ta có tiếp điểm M1(-1;-1)

– Phương trình tiếp tuyến tại M1 là (d1): y = 3(x + 1) – 1 ⇔ y = 3x + 2

 Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d1≡Δ nên loại.

See also  petrochemical là gì | Bostonenglish.edu.vn

• Với x = -3 thì  ta có tiếp điểm M2(-3;5)

– Phương trình tiếp tuyến tại M2 là (d2): y = 3(x + 3) + 5 ⇔ y = 3x + 14

• Vậy đồ thị (C) có 1 tiếp tuyến // với Δ là (d2): y = 3x + 14

* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):

* Lời giải:

– Gọi đườn thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b

– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng (Δ):  nên suy ra k = -6; khi đó pttt (d) có dạng: y = -6x + b.

– Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:

 

⇒ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.

* Cách giải khác:

– Ta có hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y’ = -4x3 – 2x.

– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với (Δ):  nên:

  (vì 2x2 + 2x + 3 > 0, ∀x).

– Với x = 1 suy ra y = -14 – 12 + 6 = 4 và y'(1) = -4.13 – 2.1 = -6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m

* Phương pháp:

– Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Ta có: y’ = 3x2 – 6x

– Điểm M có hoành độ x = 1 ⇒ . Vậy điểm tọa độ điểm M(1;-2)

– Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:

 y – y = y'(x)(x – x) ⇔ y + 2 = (3.12 – 6.1)(x – 1) ⇔ y = -3x + 1

– Khi đó để (d) // Δ

– Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3

– Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng với Δ.

* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x – 4y + 1 = 0.

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Ta có: y’ = 4x3 – 4(m+1)x

– Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A,

 khi đó hệ số góc của (d) là: k = y'(1) = 4 – 4(m + 1) = -4m

– Theo đề ra: 

– Do đó: d ⊥ Δ ⇔ k = -4 ⇔ -4m = -4 ⇔ m = 1

See more articles in the category: Wiki

Leave a Reply