Cách giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m | Bostonenglish.edu.vn

Vậy cách giải phương trình mũ chứa tham số m như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

Cũng cần lưu ý rằng, phương pháp trình bày dưới đây là phương pháp đồ thị hàm số, vận dụng với các bài toán có mức độ khó hơn (thường không đặt được ẩn phụ để đưa được về dạng pt bậc hai hay bậc nhất để giải theo cách ta hay làm). 

 Để giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m ta cần thực hiện các bước sau:

° Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x) = T(m)

° Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D

° Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số T(m) để đường thẳng y = T(m) nằm ngang (song song Ox) cắt đồ thị hàm số y = f(x).

° Bước 4: Kết luận các giá trị của T(m) để phương trình f(x) = T(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

* Chú ý:

– Nếu hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị T(m) cần tìm là những m thỏa mãn 

– Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y = T(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.

See also  Các trường tiểu học quốc tế tốt nhất Hà Nội - Danh sách các trường tiểu học quốc tế tốt nhất tại Hà Nội | Bostonenglish.edu.vn

– Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu khôngsẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sau cùng bị sai.

hayhochoi

• Một số bài tập vận dụng giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m

* Bài tập 1: Tìm m phương trình chứa tham số sau có nghiệm:

(*)

* Lời giải:

– Điều kiện: x∈[-2;2]

Đặt   x∈[-2;2] suy ra t∈[2;8]

Khi đó: 

Với t = 2 thì 0.m = 1 (vô lý) vậy t = 2 ko phải là nghiệm của pt.

Với t ≠ 2 ta chia 2 vế cho t – 2, ta được: 

Xét hàm số 

ta có: 

 

Đối chiếu điều kiện ta chỉ nhận t = 3 (loại t = 1).

Ta có bảng biến thiên như sau:bảng biến thiên bài 1Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 4.

* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình chứa tham số sau:

 (*)

* Lời giải:

Đặt t = x2 + 2mx + 2, phương trình (*) trở thành:

 5t – 52t + m – 2 = t + m – 2

⇔  5t + t = 52t + m – 2 + 2t + m – 2 (1)

+) Xét hàm số: f(t) = 5t + t.

– TXĐ: D = R.

–  Ta có: f'(t) = 5t.lnt + 1 >0 ∀x ∈ D ⇒ hàm số đồng biến trên D.

Vậy có (1) ⇔ f(t) = f(2t + m – 2)

⇔ t = 2t + m – 2 ⇔ t + m – 2 = 0

⇔ x2 + 2mx + 2 + m – 2 = 0

⇔ x2 + 2mx + m = 0 (2)

Xét phương trình (2) ta có: Δ’ = m2 – m

– Nếu Δ’ < 0 ⇔ m2 – m < 0 ⇔ 0 < m < 1 thì pt(2) vô nghiệm suy ra pt(*) vô nghiệm.

– Nếu Δ’ = 0 ⇔ m2 – m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 1 thì pt(2) có nghiệm kép.

See also  Hướng dẫn cách đọc số tiền thành chữ bằng tiếng anh trong Excel | Bostonenglish.edu.vn

 Với m = 0 pt(*) có nghiệm x = 0

 Với m = 1 pt(*) có nghiệm x = -1.

– Nếu Δ’ > 0 ⇔ m2 – m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1 thì pt(2) có hai nghiệm phân biệt.  và 

* Bài tập 3: Tìm m để phương trình mũ sau có 4 nghiệm phân biệt:

 (*)

* Lời giải:

– Ta có 

Đặt  và  với u,v > 0. Khi đó pt(1) trở thành

m.u + v = uv + m ⇔ m.u – m + v – uv = 0

⇔ m(u – 1) – v(u – 1) = 0 ⇔ (u – 1)(m – v) = 0

⇔ u – 1 = 0 hoặc m – v = 0

⇔ u = 1 hoặc m = v.

Với u = 1 ta có:

 

Với v = m ta có:   (2)

 

Để pt(*) có 4 nghiệm thì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

 

* Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

 (*)

* Lời giải:

– Điều kiện x≥0

Đặt  Điều kiện  vì 

Khi đó (*) trở thành: 2t2 – 5t + m = 0 (1)

Đến đây ta có 2 cách giải:

+ Cách 1: Giải theo dạng pt bậc 2 với t, ta có: Δ = 25 + 8m

– Nếu Δ < 0 ⇔ 25 – 8m < 0 ⇔ m > 25/8 pt(1) vô nghiệm nên pt(*) vô nghiệm

– Nếu Δ = 0  ⇔ 25 – 8m = 0 ⇔ m = 25/8 pt(1) có nghiệm kép, nên pt(*) có nghiệm x = 5/4 (thỏa đk)

– Nếu Δ > 0 ⇔ 25 – 8m > 0 ⇔ m < 25/8 pt(1) có 2 nghiệm phân biệt.

ta thấy trong 2 nghiệm trên có ít nhất nghiệm t1 > 1/2 (thỏa điều kiện) nên có nghiệm x thỏa điều kiện.

Kết luận: Với m ≤ 25/8 thì pt(*) có nghiệm.

+ Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số: (1) ⇔ -2t2 + 5t =  m

Xé hàm số y = -2t2 + 5t trên đoạn [1/2;+∞)

See also  Công Viên Nước Royal City Giảm Giá, Khu Vui Chơi Royal City | Bostonenglish.edu.vn

Ta có: y’ = -4t + 5.

Cho y’ = 0 ⇔ -4t + 5 = 0 ⇔ t = 5/4 (thỏa)

Ta có bảng biến thiên.bảng biến thiên bài tập 3 phương trình mũ

 Từ bảng biến thiên ta thấy với m ≤ 25/8 thì pt(*) có nghiệm.

* Bài tập 5: Giải và biện luậm theo m số nghiệm của phương trình sau:

  (*)

* Lời giải:

– Đặt t = 2x , điều kiện t > 0. Khi đó 

 

Xét hàm số:  xác định trên tập D = (0;+∞)

Ta có:  cho f'(t) = 0 ⇔ 1 – 3t = 0 ⇔ t = 1/3.

– Bảng biến thiên: bảng biến thiên bài tập 4 phương trình mũTừ bảng biến thiên ta thấy:

Với  hoặc  thì phương trình vô nghiệm

Với  phương trình có nghiệm duy nhất.

Với  phương trình có hai nghiệm phân biệt.

See more articles in the category: Wiki

Leave a Reply