Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.. Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Bài 2: Hai đường thẳng song song
28. Trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
a) Chứng minh rằng MN//BD.
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE).
c) Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD.
a) Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và AD. Dễ thấy:
b) Ta có:
(eqalign{
& MM subset left( {MNE} right) cr
& BD subset left( {ABCD} right) cr
& MN//BD cr
& Rightarrow left( {MNE} right) cap left( {ABCD} right) = Ex cr} )
thỏa mãn Ex // MN // BD.
Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH.
c) Ta có:
(eqalign{
& NM subset mpleft( {MNE} right) cr
& DB subset mpleft( {SBD} right) cr
& MN//DB cr} )
Và (left( {MNE} right) cap left( {SBD} right) = LH)
Suy ra: LH // DB.
