Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến | Bostonenglish.edu.vn

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng (widehat {HAB} = widehat {MAC})

b. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Giải:                                                                   

a. AH ⊥ BC (gt) ( Rightarrow widehat {HAB} + widehat B = {90^0})

(widehat B + widehat C = {90^0}) (vì ∆ ABC có(widehat A = {90^0}))

Suy ra: (widehat {HAB} = widehat C) (1)

∆ ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

⇒ AM = MC = ({1 over 2}) BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ MAC cân tại M ( Rightarrow widehat {MAC} = widehat C) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (widehat {HAB} = widehat {MAC})

b. xét tứ giác ADHE có:

(widehat A = {90^0}) (gt)

(widehat {ADH} = {90^0}) (vì HD ⊥ AB)

(widehat {AEH} = {90^0}) (vì HE ⊥ AC)

Suy ra: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ ∆ ADH = ∆ EHD (c.c.c)

( Rightarrow {widehat A_1} = widehat {HED})

(widehat {HED} + {widehat E_1} = widehat {HEA} = {90^0})

Suy ra: ({widehat E_1} + {widehat A_1} = {90^0})

              ({widehat A_1} = {widehat A_2}) (chứng minh trên)

 ( Rightarrow {widehat E_1} + {widehat A_2} = {90^0})

Gọi I là giao điểm của AM và DE

Trong ∆ AIE ta có:

(widehat {AIE} = {180^0} – left( {{{widehat E}_1} + {{widehat A}_1}} right) = {180^0} – {90^0} = {90^0})

(Rightarrow )AM ⊥ DE.