a)Tìm tọa độ điểm đối xứng của . Bài 76 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng
a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của ({M_0}(2; – 1;1)) qua đường thẳng :
(d:left{ matrix{ x = 1 + 2t hfill cr y = – 1 – t hfill cr z = 2t. hfill cr} right.)
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của ({M_0}( – 3;1; – 1)) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( alpha right):4x – 3y – 13 = 0) và (left( {alpha ‘} right):y – 2z + 5 = 0.)
c) Tìm độ điểm đối xứng của ({M_0}(2; – 1;1)) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( alpha right):y + z – 4 = 0) và (left( {alpha ‘} right):2x – y – z + 2 = 0.)
a) Phương trình mặt phẳng qua điểm ({M_O}(2; – 1;1)) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là
(2(x – 2) + left( { – 1} right)left( {y + 1} right) + 2left( {z – 1} right) = 0)
(Leftrightarrow 2x – y + 2z – 7 = 0.)
Gọi (H(x;y;z)) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: (H = left( {{{17} over 9}; – {{13} over 9};{8 over 9}} right).)
Gọi ({M_0}’left( {x;y;z} right)) là điểm đối xứng với điểm ({M_o}) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng({M_o}{M_o}’) . Do đó
(left{ matrix{ {{x + 2} over 2} = {{17} over 9} hfill cr {{y – 1} over 2} = – {{13} over 9} hfill cr {{z + 1} over 2} = {8 over 9}. hfill cr} right.)
Vậy ({M_o}’ = left( {{{16} over 9}; – {{17} over 9};{7 over 9}} right).)
b) Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là (overrightarrow {{u_d}} = left( {3;4;2} right).)
Khi đó phương trình mặt phẳng qua ({M_o}) và vuông góc với d là :
(left( alpha right):3x + 4y + 2z + 7 = 0.)
Gọi (H(x;y;z)) là giao điểm của d và (left( alpha right)), ta có ({H}= left( {1; – 3;1} right).)
Gọi (M_o’left( {x;y;z} right)) là điểm đối xứng của ({M_o}) qua d, ta có (M_o’ = (5; – 7;3).)
c) Ta xác định vectơ chỉ phương của d:
(overrightarrow {{u_d}} = left( {left| {matrix{ 1 & 1 cr { – 1} & { – 1} cr } } right|;left| {matrix{ 1 & 0 cr { – 1} & 2 cr } } right|;left| {matrix{ 0 & 1 cr 2 & { – 1} cr } } right|} right))
(= left( {0;2; – 2} right).)
Gọi (left( alpha right)) là mặt phẳng qua ({M_o}) và vuông góc với d, khi đó (left( alpha right)) có phương trình: (y – z + 2 = 0.)
Gọi H là giao điểm của d với mp(left( alpha right)), toa độ của (H(x;y;z)) là nghiệm của hệ:
(left{ matrix{ y + z – 4 = 0 hfill cr 2x – y – z + 2 = 0 hfill cr y – z + 2 hfill cr} right. Rightarrow H = left( {1;1;3} right).)
Từ đó, điểm (M_o’) đối xứng với ({M_o}) qua d là (M_o’ = left( {0;3;5} right).)
